为什幺要用弧度制?

浏览量:118 2020-06-15 点赞:581

为什幺要用弧度制?

课堂上每次教到弧度制,不管老师还是学生心底都会有股疙瘩感,\(360^\circ\) 的云霄飞车硬要说它旋转 \(2\pi\) 弧度(弧度两字还经常被省略),任谁都会觉得拗口;曾经听到有人认为:「在同一个圆内,圆心角张开的程度越大,其所对应到的弧长也越长,因此一个角所对应到的弧长,即可代表角的大小程度,所以我们可以沿用数学里最基本的长度单位去表示角的大小,不需要另外发明新的单位。」当下有人认同有人反对,笔者倒是认为这个理由还挺有趣的;其实,许多人都曾经试图为弧度制的存在辩驳,以下就提供各家道理供大家参考。

原因一 公式漂亮

毛尔 (Eli Maor) 在《毛起来说三角》中提到,弧度制大大简化原本的弧长及扇形面积公式,如下表格,弧度制比角度制少 \(\frac{\pi}{180}\) 的因子,确实简洁不少。

为什幺要用弧度制?

原因二 图形漂亮

下图是某个函数 \(f\) 一部分图形,猜的到 \(f\) 是什幺吗?

提示一:\(f\) 过 \((0,0)\),\((90,1)\)。
提示二:\(x\) 轴的单位是角度。

为什幺要用弧度制?

提示三:若把 \(x\) 轴、\(y\) 轴的比例改为 \(100:1\),则图如下。

为什幺要用弧度制?

答案是否呼之欲出了呢?没错,函数 \(f\) 就是正弦函数,即 \(f(x)=\sin{x}\),注意到此时 \(x\) 的单位为「度」,我们都知道正弦函数的图形是美丽的波,但是在 \(1:1\) 的坐标平面上,以「度」为单位的图形几乎看不到正弦的波形;同样是 \(1:1\) 的图形,若 \(x\) 轴的单位改为弧度,图形就漂亮多了,如图三。

为什幺要用弧度制?

原因三 微分漂亮

最后一个理由是笔者最喜欢的理由。观察每本课本附录的三角函数表,左起第一行是角度,第二行是其对应的正弦值,很容易发现随着角度变大,正弦值几乎以线性递增,即角度每增加 \(10’\),正弦值增加 \(0.0029\),更进一步,若将角度单位换成弧度:

\(1^\circ=\displaystyle\frac{\pi}{180}\)(弧度)\(\approx{0.01745329252}\)(弧度)

\(\displaystyle 10’\approx{0.01745329252}\times\frac{1}{6}={0.002908882087}\mbox{…}\approx{0.0029}\)(弧度)

观察 \(0^\circ\sim{3^\circ}\) 的三角函数值表,会发现 \(\theta\approx\sin\theta\),即可体会到一个重要的极限:

\(\displaystyle\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1\)

所以也有人主张为了有此精简的极限,我们需要弧度制,若再更仔细推敲,其实更重要的是,有人此极限后,三角函数才会有漂亮的微分公式:

\(\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x&=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}\\&\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{2\cos(x+\frac{h}{2})\sin\frac{h}{2}}{h}\\&=\displaystyle\lim_{h\to 0}\cos(x+\frac{h}{2})\lim_{h\to 0}\frac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\\&\displaystyle=\cos x\end{array}\)

即 \((\sin{x})’=\cos{x}\)。

为什幺要用弧度制?

看了这幺多「漂亮」的理由,弧度制是否也美丽了起来呢?


参考资料

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